중학교 1학년 자유학기 수학 수업, 3차시. 소인수분해와 거듭제곱
안녕하세요.수업을 기록하는 수학쌤입니다. :)
오늘은 중1 수학수업의 3차시 기록입니다.
지난 시간에는 소수와 합성수라는 새로운 수 체계에 대해 정확하게 정의했고,
수에 대해 소수인지 합성수인지 찾아보는 연습을 했습니다.
오늘은 수를 소수로만 쪼개는 소인수분해, 그리고
소인수분해를 보다 간략하게 표현하는 방법인 거듭제곱에 대해 배울 차례입니다.
수업 기록 시작해볼게요 !
I. 수와 연산 - 1. 소인수분해 - 01. 소인수분해 - 3. 소인수분해와 거듭제곱
1. 이번 차시에 대한 초안
소인수분해라는 용어는 선행학습을 하지 않았음을 가정하고는 처음 접하는 용어입니다.
아마 분해라는 단어말고는 아이들이 쉽게 이 뜻을 추측하지는 못할 거에요.
그래서 '쪼개기'로 접근을 하려고 하였고
이때, 수를 쪼개는 기준으로는 약수를 이용할 수 있도록,
특히 지난 시간에 배운 소수를 약수로 갖는지 나누어보도록 가이드라인을 잡았습니다.
수를 몇몇 소수의 곱셈으로 표현하는 과정에서 똑같은 수가 여러 번 곱해지는 경우를 발견하게 되는데요,
똑같은 것을 반복해서 쓰는 것은 귀찮은 일이죠. 이걸 아이들이 먼저 깨달아야 합니다.
그러면서 초등학교 때 곱셈을 배우게 된 역사(?)를 떠올리게 하면 거듭제곱을 배우게 될 연관성을 쉽게 파악하게 돼요.
이렇게 거듭제곱을 도입하고 밑, 지수라는 용어와 거듭제곱으로 나타내는 방법을 함께 약속하면
거듭제곱을 향한 접근도 마무리 !
2. 학습지 구성
학습지는 2쪽으로 구성을 했고, 1쪽은 소인수분해에 관한 내용을 담았어요.
최대한 특징이 보이지 않는 5개의 세 자리 수를 나열하고
먼저 문항 1, 짝수와 홀수로 구분하게 합니다.
짝수와 홀수는 매우 쉽게 찾는데, 이 두 수를 약수의 관점에서 달리 말하면
'2를 약수로 갖느냐, 갖지 않느냐'가 된다는 것을 몇몇 아이들은 쉽게 찾아낼 수 있어요.
그럼 이제 다음부터는 문항 2의 표를 채워보는 시간을 따로 주는데요
2, 3, 5와 같은 수는 지난 시간에 다루었던 소수임을 떠올리게 한 후 시작하도록 합니다.
이 표를 채우기 위해서는 각 소수로 나누어 떨어지느냐, 그렇지 않느냐를 아이들이 나눗셈을 통해 파악해야 합니다.
나누어 떨어진다면, 소수와 몫의 곱셈으로 수를 나타낼 수 있겠죠?
이 과정을 통해 소인수분해를 시작하게 됩니다 !
특히 3과 5를 모두 약수로 갖는 수를 찾기 위해서는
일단 더 작은 소수인 3으로 나누어보고,
예) 570 = 3 X 190
이때 만들어지는 몫인 190이 5로 나누어지는지 아닌지를 판단하게 하면 됩니다.
나누어 떨어질 경우 190을 5와 (5로 나누었을 때의)몫의 곱셈으로 또 다시 수를 표현할 수 있겠고요.
그럼 이제 이 수는 3과 5와 (5로 나누었을 때의)몫으로 분해가 되는 겁니다.
예) 570 = 3 X 190 = 3 X 5 X 38
이때 새롭게 생긴 몫인 38이 소수이냐, 아니냐를 또 한번 판단하게 하는거죠.
38은 소수가 아님을 쉽게 알아요, 아이들이.
그러면 어떤 약수 때문에 소수가 아닌지 발문하고 2를 약수로 갖기 때문임을 모두가 파악하면
다시 한번 38을 2로 나눠보게 하는 거에요.
예) 570 = 3 X 190 = 3 X 5 X 38 = 3 X 5 X 2 X 19
또 새롭게 생긴 몫이 있죠? 이제 이 수 19에 대해 파헤쳐볼 차례입니다.
아이들은 더 작아진 몫인 19가 소수라는 것을 비교적 쉽게 찾을 수 있고요,
그 말은 더이상 위에서 진행한 세 차례의 과정과 비슷한 과정을 거칠 수 없음을 알게 됩니다.
이와 동시에
570이라는 처음에는 아무 특징 없이 보였던 수는 이제
2, 3, 5, 그리고 19라는 소수로 분해되고 더이상 분해될 수 없음을 한 눈에 볼 수 있게 되는거죠.
즉 완벽하게 분해함으로써 570이라는 수가 갖는 특징이 파악가능하도록 변형한 거에요.
이 과정을 우리는 '소인수분해'라고 부르고, 더불어 소인수분해의 필요성까지 알게 됩니다.
소인수분해란?
1보다 큰 자연수를 소수인 약수만의 곱, 즉 소인수만의 곱으로 표현하는 것.
정의가 끝났으면 간단하게 예제를 함께 풀어봅니다.
위의 5개의 수에 대해서도 함께 진행을 했기 때문에 2개의 예제만 다루어도 충분해요.
주어진 수를 가장 작은 소수인 2부터 시작해서 발문으로서 분해해봅니다.
"2로 나누어 떨어지나요?"
(나누어 떨어질 경우) "몫은 무엇이죠?" -> "(몫을 가리키며) 소수인가요?"
(나누어 떨어지지 않을 경우) "3으로 나누어 떨어지나요?"
이 과정 계속 반복...
몫이 소수인지 아닌지 계속 판단하게 하며 마지막 몫이 소수가 될 때까지 아이들 전체와 함께 합니다.
그러다보면 소인수분해는 자연스럽게 습득이 돼요.
이 과정으로 인해 예제의 아래에 있는 빈칸 채우기까지 함께 마무리할 수 있게 됩니다.
- 어떤 자연수를 소인수분해한 결과는 곱의 순서를 생각하지 않는다면 오직 한 가지뿐이다.
- 소인수분해는 작은 소수부터 시작해서 마지막 몫이 소수가 될 때까지 진행하자!
이제 2쪽으로 넘어가봅니다.
먼저 워밍업으로 초등학교 수학 시간을 먼저 떠올리게 합니다.
2+2+2와 3+3+3+3처럼 같은 수를 여러 번 더하는 것은
우리에게 다소 귀찮음을 유발한다, 그래서 어떤 연산을 배우게 되었느냐로 이야기를 꺼내면
곱셈을 배우게 되었고, 곱하기 기호를 어떻게 사용해서 수를 간단히 나타내게 되었는지를 아이들이 신나서 답을 합니다.
이와 마찬가지의 상황이 있다, 같은 수를 여러 번 곱할 건데
반복해서 똑같은 수를 쓰면 귀찮고 비효율적임을 느끼게 될 것이다, 그래서 우리는 이 번거로움을 덜어줄
새로운 방법을 발견해냈다고 이야기하며
어떻게 쓰게 됐는지를 그 약속을 먼저 보여주는 거죠.
여러 차례 곱할 수를 크게 쓰고, 이 수가 곱해지는 횟수를 오른쪽 위에 작게 쓰기로요.
그리고는 이와 같이 수를 나타내는 방법을 '거듭제곱'이라고 하기로 했다고 정의를 합니다.
더불어
크게 쓰는 수, 즉 여러 차례 곱해지는 수를 '밑',
오른쪽 위에 작게 쓰는 수, 즉 곱해지는 횟수를 '지수'
라고 부르기로 했음을 역시나 정의합니다.
소인수분해를 하다보면 어떤 수의 경우 같은 소수를 여러 번 반복해서 쓰게 될 수도 있기에
소인수분해 과정에서 거듭제곱을 사용할 수 있음을 알게 하며
표에 제시된 1) 18과 2) 250은 소인수분해 후 거듭제곱으로 나타내게도 해봅니다.
거듭제곱에 관해 배우고 연습예제까지 풀고 나면
EBS 영상으로 마무리를 합니다.
몰입도를 높이는 영상 정도라 수업 내용을 정리하기에 좋았어요.
3. 수업 성찰
곱셈과 나눗셈이 주된 연산이었던 수업이라 대부분의 아이들이 비교적 잘 따라왔습니다.
새로운 개념을 정의하기는 했지만 연산이 복잡하지 않고 계산 과정에서는 하나의 연산만을 사용하기 때문에
선행이 안 된 친구들도 느리지만 따라오기는 한 내용이었습니다.
다음 시간에는 약수와 배수 개념을 좀더 확장시킨
최대공약수와 최소공약수를 배울 예정입니다.
다음 수업기록으로 돌아올게요. :D