중학교 1학년 자유학기 수학 수업, 6차시. 최대공약수의 활용
안녕하세요. 수업을 기록하는 수학쌤입니다:)
오늘은 6차시 수업 기록을 들고 왔어요.
지난 시간에 아이들에게는 어려운 내용이었던
'소인수분해를 이용하여 최대공약수 구하기'를 배워봤으니
이번 시간에는 최대공약수의 활용을 다뤄볼 차례입니다.
교육과정이 개편됨에 따라 최대공약수, 최소공배수의 활용 문제를
가능한 한 쉽게 다루는 방향으로 교과서와 흐름이 많이 바뀐 것 같더라구요.
제가 어렸을 때는 참 어려워서 문장 이해하기에도 애를 먹은 기억들이 있거든요.
아이들에게는 즐거울 소식 !
그래서 저도 교과서에 나오는 문항으로만 다루려고 마음 먹고 수업을 준비했습니다.
수업 기록 시작해볼게요 !
I. 수와 연산 - 1. 소인수분해 - 02. 최대공약수와 최소공배수 - 2. 최대공약수의 활용
1. 이번 차시에 대한 초안
한 문제가 학습지의 한 면을 다 차치하도록 시각적으로 준비하여 학생들과 함께 다루어보려고 계획했어요.
아무래도 먹을 것이 문제 해결의 소재라면 좀더 흥미를 갖고 문제 상황에 적극 몰입할 것 같아서
피자를 나눠먹는 상황으로 약수에 접근하고자 했어요.
피자 몇 조각이 있을 때, 여럿이서 똑같이 피자를 나눠먹는다는 상황이 전제된다면
피자를 나눠먹는 사람 수와 한 사람이 먹는 피자의 양이 약수가 되는 것을
이용할 수 있도록 수업을 계획했고요,
이를 이용해서 공약수와 최대공약수로 확장시킬 수 있도록
피자의 종류를 2가지, 각 피자가 나누어져 있는 조각 수 역시 조금 다르게 설정을 했답니다.
이렇게 함께 최대공약수 문제를 해결하고 나면
각자가 해결해보는 시간을 가질 수 있도록 3문제 정도를 추가로 준비했어요.
이 중 2문제는 교과서 문제로 구성을 해보았고, 시간관계상 다 해결하기에 부족할 것 같아서
한 문제는 각자의 역량에 맡길 수 있도록, 가정에서 해오는 것도 가능하게끔 했습니다.
그럼 이제 계획에 따라 구성한 학습지 소개할게요.
2. 학습지 구성과 수업 진행
[복습]을 통해 소인수분해를 이용하여 최대공약수를 구해봄으로써
지난 시간에 배운 내용을 가볍게 상기시켜요.
이 과정에서 거듭제곱을 이용할 때, 밑과 지수를 비교하는 방법도
입 밖으로 설명해보게 하고요.
아이들이 비교적 잘 기억하고 있었답니다.
[활용 1]이 오늘 선생님과 함께 해결해 볼 최대공약수의 활용 문제인데요,
일단 함께 문제를 읽었어요.
불고기 피자 한 판, 포테이토 피자 한 판이라는 소재 덕분인지
아이들이 먹고 싶어하고 맛있겠다고 하며 문제 상황에 엄청 집중하더라구요.
이때 불고기 피자는 12조각, 포테이토 피자는 8조각이 나오도록 숫자를 정해주었습니다.
또한 문제 해결에 수학적 개념을 정확하게 사용는 근거가 될 수 있도록
1. 모두가 공평하게 맛보게 하고 싶다.
2. 가영이는 다이어트를 위해 최대한 적게 먹으려고 한다.
이 두 가지 조건을 문제 안에 설정해두었어요.
일단 문제 상황이 이해가 됐다면 시간을 약간 주고 표의 빈칸을 채워보게 합니다.
총 6가지의 초대 상황에서 각자가 먹을 수 있는 피자의 양을 그림으로 채워보라고 했기 때문에
시간이 약간은 걸렸어요.
과정 중에 아이들에게 피자를 모두가 n조각으로 나눠먹지 못하는 상황이 있었나보더라구요?
아마 조각을 나눠먹을 사람 수가
피자 조각 수의 약수가 아닌 상황을 이야기하는 것일텐데
그럴 땐 그림을 어떻게 그려야하냐고 질문하길래
이 부분에 대해서는 뚜렷하게 어떻게 해야한다고 제한을 주진 않았습니다.
그림을 다 그렸다면 질문들 (2) ~ (5)를 작성해보게 했고,
모두에게 시간을 주니 문제 해결에 15분 정도가 소요된 것 같아요.
이제 같이 이야기를 나눠볼 차례입니다 !
(1) 각각의 칸에 한명이 먹는 피자의 양을 그림으로 표현해보자. (친구 한명이 나와서 자신이 그린 그림을 그려보도록 했어요.)
-> 0명을 초대했을 땐, 1명, 즉 가영이 혼자 피자를 먹으니 불고기 피자는 12조각, 포테이토 피자는 8조각을 먹게 돼요.
-> 1명을 초대했을 땐, 2명이 나눠먹으니 1명당 불고기 피자는 6조각, 포테이토 피자는 4조각을 먹는다.
-> 2명을 초대했을 땐, 3명이 나눠먹으니 1명당 불고기 피자는 4조각을 먹을 수 있지만 포테이토 피자는 공평하게 나눠먹을 수는 없다. 물론 이때, 3/8 조각을 먹을 수 있다고 주장하는 친구들도 있지만 똑같은 양으로 결코 나눠질 수 없다고 한번 이야기를 합니다.
이와 같이 6개의 빈칸을 모두 진행을 하다보면 문항 (2)~(5)를 답할 준비가 되는 건데요,
(2) 친구를 부를 때, 고려해야 하는 상황을 정리해보자.
-> 일단 친구들과 공평하게 나눠먹을 수 있어야하니깐 조건 1을 만족시켜야하는 것이 고려해야할 상황임을 이야기합니다.
-> 조건 1을 충족시키기 위해서는, 나눠먹는 사람의 수가 12와 8 모두의 약수여야 하죠.
즉, 12와 8의 공약수여야 해요.
(3) 생일파티에 초대하는 사람의 수가 많아질수록 먹는 피자의 양은?
-> 적어진다라는 것을 모두가 알기 쉽고, 이때 이것이 의미하는 바가 조건 2를 충족시킬 수 있는 조건임을 또 한번 이야기합니다.
-> 조건 2를 충족시키기 위해서는, 나눠먹는 양이 최대한 적어야 하니깐 바꿔 말하면 나눠먹는 사람 수가
최대한 많아야한다는 것을 의미해요.
(4) 피자를 공평하게 나눠먹기 위해 부를 수 있는 친구의 수를 모두 적어보고, 그 중에 문제 상황에 맞도록 생일파티에 초대할 친구 수를 구해보자.
-> (2)에 의해 나눠먹을 수 있는 사람 수는
12와 8의 공약수인 1명, 2명, 4명이 되겠고요
그러므로 부를 수 있는 친구의 수는 0명, 1명, 3명이 됩니다.
-> 문제 상황에 더욱 잘 맞기 위해서는
가영이가 최대한 적게 먹어야하는 것 ! 즉 부르는 사람 수가 가장 많아야하는 경우에요.
12와 8의 공약수 중 가장 큰 수인 최대공약수, 4명이 나눠먹어야 하므로 3명을 초대하면 됩니다.
이렇게 차근차근히 공약수, 최대공약수의 개념을 문제 해결과정에서 찾아내고 나면
다음의 질문에 대해 생각해볼 수 있는 힘이 생길 거에요.
(5) 주문할 수 있는 피자가 5조각, 8조각이 나오는 피자였다면 상황은 어떻게 됐을까? 연관된 수학적 개념은?
-> 똑같이 적용을 해보면 피자를 나눠먹을 수 있는 사람 수는 5와 8의 공약수여야 하는데,
5와 8은 지난 시간에 배운 '서로소'입니다. 공약수가 1뿐이라 최대공약수가 1인 수죠.
따라서 공평하게 나눠먹기 위해서는 부를 수 있는 친구가 없는 상황인거에요.
이렇게, 서로소 개념까지 떠올려볼 수 있도록 문제 상황을 변형해보면
최대공약수의 활용 문제 해결은 끝이 났어요.
제가 이 시간에 가장 강조했던 건,
왜 공약수 개념을 떠올렸느냐, 그렇다면 왜 최대공약수를 구해야하느냐 이걸 계속 강조하여 설명한 겁니다.
아이들은 문제를 읽고 느낌에 맞게 최대공약수를 구해야한다고 바로 캐치하더라구요.
문제를 해결할 때 필요한 직관이긴 한데, 그래도 우리는 초읽기를 하는 중이니깐
이 문제 해결에 왜 공약수 개념이 연관돼있는지, 어떤 문장으로 인해 최대공약수를 구해야하는 건지
명확하게 알게 하고 싶었습니다.
이 과정들을 아이들이 설명해볼 수 있는 시간은 학습지 2쪽에서 주었어요.
[활용 2]와 [활용 3]은 각자 해결해보는 시간을 갖게 했고요,
[활용 1]에서 함께 해결하는 과정까지 25분 가량을 썼기 때문에 남은 수업 시간이 15분 정도더라고요.
그래서 해결 시간은 5분 정도 주되, 이 안에서 시간이 남는 친구들에 한해서만 [활용 4]를 풀어보게 했고
시간이 부족한 친구들은 2, 3을 해결하는 데에 집중하라고 했습니다.
한번 쭉 둘러보니
역시나 느낌이 오니깐 바로 최대공약수를 구해버린 친구들이 많았고,
그래서 비교적 빨리 풀어내는 것을 관찰할 수 있었어요.
이 역시 해결하는 시간 5분이 지난 후, 발표하고 싶은 학생에 한해서 발표를 들어보았고
발표를 할 때는 꼭 수학적 개념이 쓰인 이유를 설명하도록 지도했어요.
관련 내용은 1쪽에서 열심히 설명했으니 더이상 적지는 않으려고 합니다.
아이들은 이렇게, 문제 속에서 공약수가 쓰여야 하는 필연적 이유를 찾고
최대공약수를 찾아야하는 수학적 이유를 발견해나가는 연습을 하며
이번 시간의 수업을 잘 마쳤답니다.
3. 수업 성찰
학교 학군의 특성 상 선행학습을 한 학생들이 대다수라
이런 문제는 무수하게 풀고 왔더라고요.
그래서, 문제 해결은 매우 빠르게 하는데 문제 속에서
공약수와 최대공약수를 구해야함을 가리키는 정보들을 잘 못 찾더라고요.
허술하게 발표하는 학생에 대해 제가 근거를 들어 설명할 수 있도록 디렉션을 주면
이를 잘 흡수하여 설명하는 학생도 있었지만 왜 최대공약수인지 설명하는 거 자체에 어려움을 겪는 학생들도 많았어요.
이후로도 저는 계속 이유를 설명하도록 채찍질 아닌 채찍질을 했지요..ㅋㅋ
많이 단련이 됐을거에요 ㅎㅎ
이번 시간까지 최대공약수를 마무리 했으니
다음 시간에는 비슷한 맥락으로 최소공배수 수업을 진행하려고 합니다.
다음 포스팅으로 돌아올게요.:)