중학교 1학년 자유학기 수학 수업, 11차시. 정수와 유리수

안녕하세요. 수업을 기록하는 수학쌤입니다. :)

학교 휴직 중임에도 꼬박꼬박 수업 기록하는 게 쉽지가 않네요..

3월에 마음먹은, 1일 1 수업 기록은 정말 큰 목표였다는 거,,,

주 2~3회라도 하도록 목표를 바꿔야할 것 같아요...ㅎ

 

 

 

이제 4월이 시작됐어요! 

제가 작년에 1학년을 맡으면서 

처음으로 주 3회 시수+자유학기제를 겪다보니 각종 진로나 자율 활동으로

수업이 빠지기도 하고 시험이 없어서 압박도 못 느껴서인지

진도가 이렇게 느릴 수 있는지 스스로도 신기했거든요.

 

 

 

거의 5월 초까지도 첫 대단원을 못 끝낸 기억이 있어요....

그땐 걱정이 한 가득이긴 했는데 또 지나보니 다 하긴 하더라구요?

다소 느려진 수업 기록이긴 하지만 그래도 시작해보겠습니다 ! 

 

 

 

I. 수와 연산 - 2. 정수와 유리수 - 01. 정수와 유리수 - 2. 정수와 유리수

1. 이번 차시에 대한 초안

이번 시간에는 정수와 유리수라는 새로운 수 체계를 본격적으로 소개하게 됐어요.

초등 때 다루지 않은 음수 개념을 배우게 되고, 

수들을 잘 분류하는 것이 학습 목표인데요 

새로운 용어를 잘 익히고 분류에 큰 어려움을 느끼지 않게끔

흥미 있는 소재와 다양한 색감으로 학습지를 만들어봤습니다.  

그럼 학습지 소개할게요.

 

 

 

 

2. 학습지 구성과 수업 진행

1-2-01-2. 정수와 유리수

음수 개념을 도입하기 위해 학습지 1쪽의 큰 제목을 '0보다 큰 수, 0보다 작은 수'로 붙여두었어요.

[역사 탐구]를 통해 고대 중국의 수 표기법을 소개했는데

0보다 큰 수는 검정색 하트로, 0보다 작은 수는 빨간색 하트로 표시를 해 둔 것을 보고

아래 표의 빈 칸을 채워보게 했습니다. 

 

 

 

이때 하트의 개수로 수를 표현해야하기 때문에

0보다 (  ) 큰 수, 0보다 (  ) 작은 수에서 (  )에 들어갈 수는 모두 자연수가 돼야했어요.

다들 쉽게 표를 채웠고

지난 시간에 0보다 큰 수에는 양의 부호를,

0보다 작은 수에는 음의 부호를 붙인다는 것을 배웠기에

 

☆ 양의 부호를 붙인 수 = 양수라고 한다는 것을 알려줬어요.

그러니 자연스럽게

음의 부호를 붙인 수 = 음수라고 한다는 것을 알아채더라구요.

 

따라서 0을 기준으로 했을 때,

☆  0보다 큰 수 = 양수, 0보다 작은 수 = 음수 

이 개념도 쉽게 도입할 수 있었습니다.

 

이때 양수와 음수의 기준이 되는

☆ 0은 양수도 음수도 아니다. 

도 한번 언급을 하며 매우 중요한 수 체계 하나를 자연스럽게 완성할 수 있게 됐어요. 

 

 

위의 역사 탐구에서 빨간색과 검정색을 사용하여 수를 표현한 역사를 바탕으로

★ 현재 우리는 손해와 이익을 각각 적자와 흑자로 부른다는 사실도 알려주었더니

다들 오오! 하는 눈빛이라 뭔가 모르게 뿌듯했더랍니다. ㅎㅎ 

 

 

 

[문제] 풀이를 통해 교과서 문제 해결과 함께 그림의 수들을 양쪽 바구니에 분류해서 넣어보는 시간을 주었습니다. 

대부분의 학생들이 +부호가 붙은 수를 양수 바구니에, -부호가 붙은 수를 음수 바구니에 잘 넣어서

다함께 소통하는 시간으로 이를 정리를 했고 

양수와 음수 바구니 속에 있는 수 중 일부를 떼어내서 살펴보기로 합니다. 

 

 

새로운 수 배우기 Chapter 1. 

양수 바구니에 있는 수 중 +1, +3, +6과 같은 수를,

음수 바구니에 있는 수 중에서는 -4, -7과 같은 수를 따로 표시하고 살펴보기로 했어요. 

이렇게 따로 떼어낸 수들의 공통점은 무엇일지 함께 고민해보는데 의견이 잘 안 나오더라고요. 

그래서 이번에는 부호만 떼고 생각해보기로 합니다.

 

 

(+) 부호와 (-) 부호 뒤에 붙어있는 수들은 바구니에 현재 남아있는 수들과 어떤 차이점을 가지는지 생각해보자고 했더니

바구니에 남아있는 수들은 분수나 소수이고, 살펴보고 있는 수들은 자연수라고 대답하는 학생들이 몇 있긴 했어요.

여기에 착안을 하여 새로운 수를 정의해봤어요.

 

 

 

(+) 부호 뒤에 붙어있는 수가 자연수일 때는 양수 중에서도 양의 정수라고 하고,

(-) 부호 뒤에 붙어있는 수가 자연수일 때는 음수 중에서도 음의 정수라고 한다. 

 

 

즉,

자연수에 양의 부호를 붙인 수를 양의 정수,
자연수에 음의 부호를 붙인 수를 음의 정수라고 한다. 

 

 

이때,

+1 = 0보다 1 큰 수 = (우리가 알고 있는) 1 이고

같은 맥락으로 하면 +2 = 2, +3 = 3이므로 

양의 정수 = 자연수와 같아서 양의 정수에서는 양의 부호를 생략해도 된다.

고 한번 다루었고,

반대로 -1 = 0보다 1 작은 수인데 이것은 1이라고 할 수는 없으므로 

-1과 같은 음의 정수에서는 - 부호를 생략하면 안 된다고 언급정도만 했습니다. 

 

 

여기까지 정의가 되면 다음과 같이 수 체계를 한번 정리합니다. 

 

 

양의 정수와 음의 정수, 그리고 (이 둘을 양과 음으로 분류하는) 0 세 수를 통틀어 정수라고 한다. 

 

 

 

 

 

1-2-01-2. 정수와 유리수

 

그럼 학습지 2쪽으로 와서 모식도로 정리를 한번 해봅니다. 

        - 양의정수 : +1, +2, +3, ...

정수 - 0 : 양의 정수도, 음의 정수도 아니다.

        - 음의 정수 : -1, -2, -3, ... 

 

 

다음으로는 바구니에서 양의 정수, 음의 정수 외에 남겨둔 수들에 대해서도 배워볼 차례입니다. 

 

 

새로운 수 배우기 Chapter 2. 

이번에는 같은 수들을 두고 양의 정수가 아닌 수와 음의 정수가 아닌 수를 밖으로 빼내기로 했어요.

양수 바구니에서 먼저 살펴보면

+(1/2), +(1.9), +(5/3)와 같은 수들이 있고

특히 +1.9는 나머지 두 수와 형태가 다르니 같게 맞춰주면

+(19/10)으로 고칠 수 있어 일부러 바꾸게끔 빈칸을 두었어요. 

 

 

 

그럼, 세 수의 공통점은 (+) 부호 뒤에 붙은 수가 분수꼴임을 알 수가 있죠.

분수라는 용어는 초등 때부터 이미 사용을 했고

중학생이 되었기 때문에 위의 수들을 '분모와 분자가 모두 양의 정수인 분수'로

좀더 수학적으로 풀어 써봤더니 다들 끄덕끄덕 이해하더라구요.

막 배운 용어인 양의 정수를 이용해서 이 분수들의 공통점을 표현해보며

더 깊은 이해를 끌어내는 시간이었습니다.

 

 

이를 바탕으로 새로운 수를 정의할 수 있었어요 ! 

분모와 분자가 모두 양의 정수인 분수에 양의 부호를 붙인 수 = 양의 유리수

 

 

그러면 이제 음수 바구니에서 같은 조건에 해당하는 수들도 모두 설명이 됩니다.

-(1/3), -3.7=-(37/10), -2/5는 (-) 부호 뒤에 붙은 수가 역시나 분수꼴인데

특히 위에서 막 표현해본 것을 그대로 이용하면

마찬가지로 '분모와 분자가 모두 양의 정수인 분수'에 음의 부호를 붙인 수가 되는거죠.

 

 

따라서 새로운 수에 이름을 또 붙이기가 아주 쉬워집니다.

분모와 분자가 모두 양의 정수인 분수에 음의 부호를 붙인 수 = 음의 유리수

 

 

하나의 표현으로 두 수를 정의할 수 있으니 새로운 용어지만

아이들이 익히기에 큰 무리가 없겠더라구요. 

 

 

 

마찬가지로 새로운 수 체계를 정리할 수가 있게 됩니다. 

 

양의 유리수와 음의 유리수, 그리고 (이 둘을 양과 음으로 분류하는) 0 세 수를 통틀어 유리수라고 한다. 

 

 

 

 

 

 

여기서 매~~~~~~우 중요한 사실 하나가 등장하는데 ! 

정수는 항상 분모와 분자가 모두 양의 정수인 분수꼴로 나타낼 수 있다는 점이죠.

+2 = +(2/1) = +(4/2) = +(6/3) = ...

0 = 0/1 = 0/2 = 0/3 = ...

-3 = -(3/1) = -(6/2) = -(9/3) = ...

 

처럼요. 

그러므로 양의 정수는 양의 유리수가 되고,

음의 정수 역시 음의 유리수가 되며

0은 유리수라고 했으므로

(양의 정수, 0, 음의 정수) = (정수)는 유리수라고 할 수 있어요.

따라서, 정수는 유리수이다. 라는 중요한 사실이 밝혀집니다.  

 

 

그래서 유리수는 이렇게 분류가 되기도 합니다.

유리수 -> 정수 - 양의 정수

                        - 0

                        - 음의 정수

            - >정수가 아닌 유리수 

 

 

 

사실 분류 방식은 하나로 정해진 게 아니라 다른 기준으로도 분류를 할 수 있어요.

이런 사실을 전달하며 이번 시간 수업을 마쳤습니다. 

 

 

 

3. 수업 성찰

새로운 수 체계와 용어를 배우는 시간이었음에도 아이들에게 익숙한 자연수, 분수 등으로 파생된 개념이어서인지

잘 따라오는 모습을 관찰할 수 있었습니다.

뭐니뭐니해도 수 분류하는 게 가장 중요한 수업 목표였던만큼

앞으로 계속 쌓일 수 지식에서 오늘 배운 내용들을 명확하게 사용할 수 있어야겠죠.

그래도 아이들의 집중력이 꾸준하게 유지된 시간이었답니다. 

 

 

 

다음 시간에는 수직선을 도입하여 수를 그 위에 표현해보는 시간을 가지려고 해요.

이를 통해 수의 대소 비교 역시 가능하겠죠?

다음 수업 기록으로 돌아오겠습니다:-)