중학교 1학년 자유학기 수학 수업, 13차시. 수의 대소 비교

 

안녕하세요. 수업을 기록하는 수학쌤입니다. :)

수업 기록.... 초반의 다짐과 달리 2주나 안 썼네요ㅠㅠ

2주나 된지 몰랐다능.... 수업을 하는 것보다 기록하는 게 더 힘든가봅니다,,,,

바야흐로 4월 중순 ! 이제 연휴가 다가오면서 싱숭생숭한 때일 것 같아요.

매우 밀린 수업 기록, 시작해볼게요.

 

 

 

I. 수와 연산 - 2. 정수와 유리수 - 01. 정수와 유리수 - 4. 수의 대소 비교

 

 

​

1. 이번 차시에 대한 초안

지난 시간에 배운 수직선을 이용해서 두 수의 크기 비교를 해볼 건데요,

앞서 새로운 용어인 '절댓값'이 등장하게 됩니다.

매우매우 중요한 개념이죠.

서로 다른 두 양수끼리 대소를 비교하는 법,

서로 다른 두 음수끼리 대소를 비교하는 법에 대해

정확히 아는 게 이번 시간의 학습 목표가 되겠습니다.

 

 

 

 

2. 학습지 구성과 수업 진행

 

 

1-2-01-4. 수의 대소 비교(1쪽)

 

학습지 1쪽입니당

수직선 위에서 반드시 필요한 점은 기준점이었죠. 바로 원점이에요.

원점으로부터 떨어진 거리부터 시작하려고 해요.

 

 

 

[탐구] 영희네 집에서 각 건물까지 떨어진 거리를 찾아보기로 합니다.

영희네 집을 원점에 위치시켰고

서로 다른 네 종류의 건물을 양 방향에 배치시켜

(1) 각 건물의 위치와 영희네 집에서 각 건물까지의 거리를 각각 찾아 표를 채워보게 했어요.

 

 

 

그러면 건물의 위치는 영희네 집에서 왼쪽에 있는지, 오른쪽에 있는지를

드러내야하기 때문에 수직선 위에서의 위치를 읽어야 해요.

즉, 부호를 반드시 붙여줘야하죠.

그러나 영희네 집에서 건물까지의 거리는 '얼마만큼'을 의미하기 때문에

방향을 포함하고 있지 않아요.

따라서 부호에 관계없이 '걸음수'만 따지면 됩니다.

(2) 이렇게 되면 도서관과 영화관의 경우

위치는 -5와 +5로 엄연히 다르지만

영희네 집, 즉 원점에서의 거리는 5로 같게 됩니다.

 

 

 

각 건물의, 원점에서부터의 거리를 찾아보면

도서관: 5 / 문구점: 3 / 영화관: 5 / 편의점: 7

이 되기 때문에

(3) 영희네 집, 즉 원점에서 가장 가까이에 있는 건물은 문구점, 가장 멀리 있는 건물은 편의점이 되죠.

문구점과 편의점은 영희네 집에서 서로 반대 방향에 떨어져 있지만 이와 관계없이

거리만으로 따져봤을 때 가까이에 위치해있다, 멀리 위치해있다고 표현할 수 있어요.

 

 

 

이와 같이 원점에서부터 '얼마만큼' 떨어져있느냐는 수가 갖는 하나의 특성이 될 수 있습니다.

따라서 우리는 이 개념에 이름을 붙이고 중요시 다루게 됐죠.

바로, '절댓값'입니다.

 

 

[용어]

 

절댓값이란?

수직선 위에서 원점과 어떤 수에 대응하는 점 사이의 거리를

'그 수의 절댓값'이라고 한다.

어떤 수의 절댓값을 나타내고자 할 때, 기호로는 ㅣ ㅣ를 사용한다.

 

 

 

+5와 -5의 절댓값은 모두 5이고

기호로는 ㅣ+5ㅣ= 5, ㅣ-5ㅣ= 5 라고 표현할 수 있어요.

 

 

여기까지 소개를 하고 나면 예)를 통해 연습을 해보게 합니다.

∨ +2에 대응하는 점은 원점으로부터의 거리가 2이므로 ㅣ+2ㅣ= 2 ∨ -3.5에 대응하는 점은 원점으로부터의 거리가 이므로 ㅣ-3.5ㅣ= 3.5 ∨ 0에 대응하는 점은 원점으로부터의 거리가 이므로 ㅣ0ㅣ= 0

이때, 0의 경우 원점으로부터의 거리가 0이므로 ㅣ0ㅣ= 0 을 한번 더 강조하고 ㅎ

ㅣ+5ㅣ=ㅣ-5ㅣ= 5 처럼 수가 달라도 절댓값이 같은 수에 대해서도 표현하는 법을 한번 더 언급했어요.

 

 

 

이후 교과서 문제를 풀어보는 시간을 준 후, 제가 만든 퀴즈도 풀어보게 하는데요,

문제풀이는 모두 학생들의 발표로 진행했고,

퀴즈는 같이 OX를 논의했는데 X의 경우 반드시 예시를 찾게끔 했습니다.

 

 

[Quiz] 다음 중 맞는 설명은?

① 절댓값이 1인 수는 1개이다.  -> 절댓값이 1인 수는 +1과 -1로 2개이다. (X)

② 절댓값이 –2인 수는 1개이다.  -> 절댓값은 '원점으로부터의 거리'이기 때문에 항상 양수 또는 0이다. 따라서 절댓값이 -2인 수는 없다. (X)

이 문항을 통해 절댓값은 늘 0 이상이다 라는 수학적 사실 역시 전달했어요.

③ 절댓값이 0인 수는 1개이다. -> 절댓값이 0인 수는 0으로 오직 1개뿐이다. (O)

④ 절댓값의 종류에는 양수, 0, 음수가 있다. -> 절댓값의 종류에는 양수와 0만 있다. (X)

⑤ 정수가 아닌 유리수는 절댓값이 될 수 없다. -> +1/2과 -1/2의 절댓값은 1/2이므로 정수가 아닌 유리수 역시 절댓값이 될 수 있다. (X)

 

 

 

 

 

이제 학습지 2쪽으로 넘어가서

절댓값 개념을 이용하여 중요한 수학적 성질을 배워보려고 합니다.

 

 

 

1-2-01-4. 수의 대소 비교(2쪽)

아무래도 중 1 수업을 하다보니 학습지에 컬러감과 친숙한 캐릭터나 그림을 이용함으로써

가독성을 더 높이게 되는 것 같아요,,,,ㅎ

중 2와 중 3 학습지에는 저런 라이언 같은 거 없었단 말이죠,,,

 

 

 

[발견] 추론을 통해 다같이 수학적 성질을 발견해보기로 해요.

여기서 중요한 건, 모두가 직관적으로 알고 있는 사실을 이용하고

이들을 연결하여 새로운 수학적 성질을 발견해내는 것이었어요.

 

 

그림을 보면서 저와 아이들이 대화를 나누었고 이 과정에서 빈칸을 채워보기로 했는데요,

☑ 수직선 상에서 더 오른쪽에 있는 수는 그 왼쪽에 있는 수보다 크다.

☞ 양수와 음수 중 더 오른쪽에 있는 수는 양수이므로 ‘음수 < 양수’이다.

대부분의 아이들이 쉽게 오른쪽에 있는 수가 더 크다는 것을 답할 수 있었고

수직선 상에서 원점을 기준으로 양수가 음수보다 더 오른쪽에 있기 때문에

양수가 음수보다 더 크다는 사실을 당연하게 정리할 수 있었습니다.

 

 

 

다음은 아래 그림을 이용하여 양수끼리의 대소 비교 방법을 정리했는데

좀 열심히 움직여서 몰입시켜야했어요.

 

 

 

양수끼리의 대소 비교

☑ 양수는 오른쪽에 있는 수일수록 원점으로부터의 거리가 더 멀다.

이 문장을 완성하고는

아이들이 알고 있는 사실을 이용했는데 이는

거리가 더 멀다 = 절댓값이 크다, 더 오른쪽에 있다 = 수가 더 크다

였고요

 

 

이 사실을 바탕으로 다음 문장을 완성할 수 있었어요.

☞ 양수는 절댓값이 클수록 그 값이 크다.

 

 

다음은 음수끼리 대소비교를 해야하는데

이는 아이들이 이해는 해도 정말 어려워할 부분이라 제가 좀더

열정있게 움직이며 아이들의 머리를 빠르게 굴려야했답니다. ㅎ

 

 

 

음수끼리의 대소 비교

 

☑ 음수는 왼쪽에 있는 수일수록 원점으로부터의 거리가 더 멀다.

역시나 그림을 보고 아이들과 함께 이 문장을 완성한 후에도

아이들이 알고 있는 사실을 이용했는데 이는

거리가 더 멀다 = 절댓값이 크다, 더 왼쪽에 있다 = 수가 더 작다

였어요.

☞ 음수는 절댓값이 클수록 그 값이 작다.

음수끼리 비교할 경우, 그림에서 볼 수 있듯이

더 왼쪽에 있을 수록 원점으로부터의 거리는 머니깐 절댓값은 더 큰데

값은 더 작죠.

따라서, 양수와 달리 절댓값이 클수록 값이 더 작다는 사실을 도출할 수 있어요.

 

 

지금 당장은 이해가 돼서 끄덕끄덕해도

양수와 다르기 때문에,,, 너무 어려워한다는 점,,,,

 

 

 

이러한 관찰과 추론, 발견을 토대로

중요한 수학적 성질을 정리합니다.

 

 

수의 대소 관계

 

V 양수는 음수보다 크다.

V 두 양수끼리는 절댓값이 클수록 크다, 또는 절댓값이 작을수록 작다.

V 두 음수끼리는 절댓값이 클수록 작다, 또는 절댓값이 작을수록 크다.

 

 

이제 이 사실들을 이용해서 함께 예제를 풀어보아요.

 

[예제]

(1) -3은 음수이고, +5/2는 양수이므로, -3 < +5/2

(2) +5.2의 절댓값(=5.2)이 +3.6의 절댓값(=3.6)보다 크다. 따라서 (두 양수끼리는 절댓값이 클수록 크기 때문에) +3.6 < +5.2 이다.

(3) -3의 절댓값(=3)이 –2의 절댓값(=2)보다 크다. 따라서  (두 음수끼리는 절댓값이 클수록 작기 때문에) -3 < -2 이다.

 

 

여기까지 하면 공식적은 수업은 끝이고, 교과서 문제를 풀게 하며 시간을 마무리했습니다.

 

 

 

3. 수업 성찰

절댓값이라는 개념을 배움에 있어 부호를 뗀다라는 것에는 큰 어려움을 느끼지 못했으나

용어가 주는 어려움을 많이 겪는 것 같았어요.

저도 학생 때는 절댓값이 막연하게 어려웠거든요...

그리고 양수는 초등학교 때부터 다룬 워낙 익숙한 수라서 절댓값과 연관지어도 OK 하는데

음수는 절댓값의 비교와 수의 대소가 반대이기 때문에

어려워하는 친구들은 끝없이 헷갈려하는 모습을 관찰할 수 있었어요.

 

 

연습만이 답이겠죠 !

그래도 라이언 친구들을 활용해서 수업 자체에는 매우 집중하며 잘 따라왔답니다.

 

 

 

다음 시간에는 정수와 유리수의 덧셈에 대해 나가보려고 해요.

이 수업을 위해 바둑돌도 구입했답니다..ㅎ

다음 시간 수업 기록은 꼭 성실하게 돌아올게요 !