중학교 1학년 자유학기 수학 수업, 14차시. 정수와 유리수의 덧셈

 

안녕하세요. 수업을 기록하는 수학쌤입니다:)

오늘은 정수와 유리수의 덧셈 수업 기록을 가져왔는데요,

저도 중학교 1학년이었을 때, 이 부분이 참 어려웠던 기억이 나요.

저 역시 당시에는 음수에 대해 강한 헷갈림을 갖고 있었던 것 같고요.

교사로서 학생 시절 갖고 있던 어려움을 학생들이 어떻게 극복하게 했는지

소개해보도록 하겠습니다.

 

 

 

I. 수와 연산 - 2. 정수와 유리수 - 02. 정수와 유리수의 덧셈 - 1. 정수와 유리수의 덧셈

 

 

1. 이번 차시에 대한 초안

교재 연구를 하다보니 지도서에 셈돌 모델, 우체부 모델 등을 이용하여 이 부분을 지도하는 가이드가 있던데

임용고시 준비 시절 수교재에서 양수와 음수의 덧셈, 뺄셈에 대해

자세히 다루었던 기억이 나서 좀더 신경쓰게 되는 단원이더라고요.

저도 셈돌 모델로 덧셈, 뺄셈의 원리를 터득하게 하고 싶었고

그림으로도 그릴 수 있지만 중1이라 좀더 활동 요소를 넣으면 좋을 것 같아

학교 수학과 수업 예산으로 바둑돌을 구입하게 됐어요.

 

 

 

수업 중 바둑돌을 적극 활용했고, 아이들은 모둠 활동을 통해

이 바둑돌을 저와 마찬가지로 이용할 수 있도록 나눠줬답니다.

 

 

 

수업을 어떻게 진행했는지 소개해볼게요 !

 

 

 

2. 학습지 구성과 수업 진행

1-2-02-1. 정수와 유리수의 덧셈

 

학습지는 1쪽으로만 구성했어요.

그럼에도 45분이라는 1시간이 아주 꽉 찼답니다.

 

 

 

먼저

[탐구]를 통해 바둑돌 게임의 방식을 소개했는데요,

 

규칙 1. 흰 바둑돌 한 개는 +1을, 검은 바둑돌 한 개는 –1을 나타낸다. 규칙 2. 흰 바둑돌 한 개와 검은 바둑돌 한 개가 만나면 0이 되어 사라진다. 예) ○○ + ●●● = (○●) + (○●) + ● = -1

규칙 1과 규칙 2를 읽어준 후, 예시를 통해

두 규칙이 어떻게 적용되는지 다루어보았어요.

저도 뭔가 이 게임의 원리를 직접 이용하며 음수와 양수의 덧셈원리를 끄집어내려니 재밌더라고요 !

 

 

 

그런 다음,

위 규칙에 따라 아래의 계산식을 바둑돌을 이용하여 나타내고, 남은 바둑돌을 표현해보자.

를 아이들이 모둠 활동을 통해 직접 해보도록 시간을 주었습니다.

개인 활동이나 짝 활동도 고민해보았지만

이 방식에 대한 이해가 원활하지 않은 친구들도 있을 것 같아

4인 모둠 활동으로 진행하면 모둠원 중 한 명 정도의 도움은 받을 수 있겠더라고요.

 

 

 

아이들이 활동을 진행하며 총 12개의 계산 과정을 거치는 동안

저는 첫 4개의 문항에 필요한 바둑돌을 세팅해두었어요.

아이들이 계산을 끝내면 같이 확인해보려고요.

 

 

 

 

10분~15분 정도 시간을 주고 나니

얼추 계산이 완성된 듯 하여 같이 확인해보기로 합니다.

 

 

 

(+2)+(+3)

-> 규칙 1에 따라 흰색 바둑돌 2개와 흰색 바둑돌 3개를 세팅

-> 이 경우 흰색 바둑돌만 남음. 개수는 총 5개. 마찬가지로 규칙 1에 따라 결괏값은 +5

 

 

(+4)+(+2)

위와 마찬가지로 흰색 바둑돌만 6개가 남으므로 규칙 1에 따라 결괏값은 +6

 

 

 

(-3)+(+4)

-> 규칙 1에 따라 검은색 바둑돌 3개와 흰색 바둑돌 4개를 세팅

-> 규칙 2에 따라 검은색 바둑돌 1개와 흰색 바둑돌 1개가 만나서 0이 되어 사라짐.

이러한 일이 개수가 더 적은 검은색 바둑돌의 개수만큼 반복(총 3번)되고 남은 것은 흰색 바둑돌 1개

-> 규칙 1에 따라 결괏값은 +1

 

 

 

(-2)+(+5)

-> 규칙 1에 따라 검은 바둑돌 2개와 흰 바둑돌 5개 세팅

-> 규칙 2에 따라 검은 바둑돌 1개와 흰색 바둑돌 1개가 만나면 0이 되어 사라지고,

이런 일은 개수가 더 적은 검은색 바둑돌의 개수만큼 반복(총 2번)됨.

남은 것은 흰색 바둑돌 3개 -> 결괏값은 +3

 

 

 

예시는 제가 직접 만들어본건데 모든 경우를 다 다루어보려고 했어요.

두 수를 더할 때

1) 두 수 모두 양수

2) 두 수 모두 음수

3) 두 수의 부호가 다르고, 양수의 절댓값이 더 클 때

4) 두 수의 부호가 다르고, 음수의 절댓값이 더 클 때

 

 

여기까지만 해보면 사실 나머지 부분들은 같이 안 다루어보아도 이해를 잘 합니다.

비슷한 맥락이니까요.

2), 4)의 경우를 수업에서 딱히 다루진 않았지만 한번 해보자면,

 

 

 

(+1)+(-3)

-> 흰색 바둑돌은 1개, 검은색 바둑돌은 3개로 흰색 바둑돌의 개수가 더 적음. (절댓값이 더 작음을 의미)

-> 흰색 1개와 검은색 1개가 만나면 0이 되어 사라지는데, 이 일은 개수가 더 적은 바둑돌의 개수만큼 일어남. 즉, 1번만 일어남.

-> 남은 바둑돌은 검은색 2개로서, 결괏값은 -2

 

 

 

 

(-1)+(-2)

-> 검은색 바둑돌 1개와 2개를 각각 세팅

-> 나은 바둑돌은 검은색으로만 구성되고 개수의 합인 3개이므로, 결괏값은 -3

 

 

 

마지막으로

(-4)+(+4)와 (-3)+0은 워낙 직관적이라 설명에 크게 시간을 들이지 않았습니다.

 

 

 

바둑돌 활동과 확인이 모두 끝나면 일반화를 할 차례죠.

그렇게 잘 해놓고 일반화할 때는 매우 어려워했어요.

 

 

 

 

 

정수의 덧셈 일반화하기

 

빈칸 채우기는 함께 문장을 읽어나가며 질의 응답으로 채워봤습니다.

 

 

☆ (양의 정수) + (양의 정수)에서 남은 바둑돌의 색은?

a) 흰색 바둑돌끼리 합치기 때문에 흰색 바둑돌만 남는다.

-> 계산 결과의 부호는 흰색 바둑돌이 의미하는 (+)이다.

-> 즉, 양의 정수끼리 더하면 결과는 양수이다.

 

☆ (양의 정수) + (양의 정수)에서 남은 바둑돌의 개수는?

a) 흰색 바둑돌의 개수의 합만큼 남는다.

-> 흰색 바둑돌의 개수는 (+) 부호 뒤에 붙어있는 수, 즉 절댓값과 같다.

-> 즉, 절댓값의 합만큼 바둑돌이 남으므로 (+) 부호 뒤에 붙을 숫자는 두 양의 정수의 절댓값의 합이다.

 

결론) 두 양의 정수의 합은, 두 수의 절댓값의 합에 양의 부호(또는 (+)부호)를 붙인 것과 같다.

 

 

이 부분을 통해 다음의 두 질문은 쉽게 해결할 수 있었어요.

★ (음의 정수) + (음의 정수)에서 남은 바둑돌의 색은?

a) 검은색 바둑돌만 남는다.

-> 계산 결과의 부호는 (-)이다.

-> 즉, 음의 정수끼리 더하면 결과는 음수이다.

 

★ (음의 정수) + (음의 정수)에서 남은 바둑돌의 개수는?

a) 검은색 바둑돌의 개수의 합만큼 남는다.

-> 검은색 바둑돌의 개수는 (-) 부호 뒤에 붙어있는 수, 즉 절댓값과 같다.

-> 절댓값의 합만큼 바둑돌이 남으므로 (-) 부호 뒤에 붙을 숫자는 두 음의 정수의 절댓값의 합이다.

 

결론) 두 음의 정수의 합은, 두 수의 절댓값의 합에 음의 부호(또는 (-)부호)를 붙인 것과 같다.

 

 

 

오히려 박스 상에서 가운데에 있는 문항보다 양 끝의 문항이 맥락이 비슷해서 먼저 채우기 좋았고

가장 먼저 수업을 한 반에서 진행해보았을 때

가운데 문항인 '부호가 다른 두 정수의 합'을 일반화하는 걸 더 어려워해서

다른 반에서는 순서를 바꾸어 정리했어요.

 

 

 

☆★ (양의 정수) + (음의 정수)에서 남은 바둑돌의 색은?

a) 개수가 더 많은 색깔의 바둑돌이 남는다.

-> 바둑돌의 개수는 절댓값을 의미하므로, 절댓값이 더 큰 수의 부호가 최종적으로 결정된다.

 

☆★ (양의 정수) + (음의 정수)에서 남은 바둑돌의 개수는?

a) 개수가 더 적은 색깔의 바둑돌 개수만큼 두 색깔의 바둑돌이 0이 되어 사라지므로 개수가 더 많은 색깔의 바둑돌에서 개수가 더 적은 색깔의 바둑돌 개수를 뺀만큼 남는다.

-> 바둑돌 개수는 절댓값을 의미하므로(거듭 강조), 절댓값이 큰 수에서 절댓값이 작은 수를 뺀 값인 절댓값의 차만큼의 바둑돌이 남는다.

 

 

 

 

이 과정에서 많은 학생들이 집중력을 잃었어요..

바둑돌이라는 만질 수 있는 소재를 사용했음에도 정리하는 과정에서

절댓값이 등장하고 일반화를 하려하니 쉽지 않았나보더라고요.

마음이 약해졌지만,,, 지금 잠깐 힘들면 앞으로의 계산이 편해지니 수업을 이어나갑니다.

 

 

 

 

(양의 정수) + (양의 정수)와 (음의 정수) + (음의 정수)는 맥락과 결과가 완전히 같기 때문에

부호가 같은 두 정수의 합으로 합쳐서 말할 수 있다는 것을 설명했습니다.

집중력을 잃지 않거나, 잃어도 다시 돌아온 친구들은 끄덕끄덕 하더라고요.

 

 

또한,

(양의 정수) + (음의 정수) 역시 절댓값이 어느 쪽이 크냐에 관계없이 도출되는 결과는 같기 때문에

부호가 다른 두 정수의 합으로 합쳐서 말할 수 있다고 똑같이 얘기했고요.

 

 

이때, 우리는 바둑돌의 개수인 셀 수 있는 정수만을 다룬 것이지만 유리수에서도 같은 사실이 성립함을 안내 차원에서만 전달한 후, 아래와 같이 정리했어요.

 

 

 

 

★★ 부호가 같은 두 수의 합은 두 수의 절댓값의 합에 공통인 부호를 붙인 것과 같다. ☆☆ 부호가 다른 두 수의 합은 두 수의 절댓값의 차에 절댓값이 더 큰 수의 부호를 붙인 것과 같다.

 

예시로,

(-3) + (-5)는 부호가 같은 두 수의 합이고 따라서 결괏값의 부호는 공통인 부호에 해당하는 (-)이다,

절댓값은 각각 3과 5이므로 절댓값의 합인 3+5=8에 공통인 부호 (-)를 붙인다,

답은 -8

 

(+3/5) + (-3/4)은 부호가 다른 두 수의 합이므로 절댓값을 비교해본다,

절댓값은 각각 3/5과 3/4, 이때 절댓값은 3/4이 더 크므로 결괏값의 부호는 (-)이다,

두 절댓값의 차는 (3/4)-(3/5)=3/20이므로

답은 -(3/20)

 

 

◇ 절댓값이 같고 부호가 다른 두 수의 합은 0이다. ◆ 어떤 수와 0의 합은 어떤 수이다.

 

바둑돌로 비교적 쉽게 확인한 위의 두 가지 사실도 정리 한번 하고는

오늘의 수업은 마무리를 지었습니다.

 

 

 

 

 

3. 수업 성찰

단 한 장의 학습지였지만 내용 정리가 쉽지 않았기에

한 시간이 꽉 찼고, 아이들이 힘들어하는 모습도 볼 수 있는 시간이었어요.

교사로서는 바둑돌을 이용하여 보다 활동적인 수업을 했다고 생각은 했으나

이를 이론화하는 과정에서 아이들이 꽤나 어려워했기에 진행이 잘 된건가 의문이 들기도 했습니다.

저도 중 1 수업이 처음이라서 예상치 못한 반응에는 좀 당황스럽더라고요,,,ㅎ

 

 

 

5개반을 들어가는데 5개 모두에서 비슷한 반응이었던 이번 차시의 수업 !

뿌듯해하는 게 맞는지 잘 모르겠던 시간이었는데요,

뺄셈에서도 똑같이 바둑돌을 이용할 계획이기에

일단 아이들이 생소하지 않게 뺄셈을 받아들일 수 있도록 밑작업을 한 시간이었다고도 생각하려고 해요.

 

 

 

다음 시간에는 덧셈의 연산법칙을 다루며 조금 느슨하게 수업을 진행해볼 계획이에요.

다음 수업 기록으로 돌아올게요 !